Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，兩次求導(dǎo)，分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出單調(diào)區(qū)間，求得最小值，即可得到的范圍；（2）對(duì)要證的不等式等價(jià)變形，可得①，且②，運(yùn)用（1）中的結(jié)論，對(duì)①相當(dāng)于（1）中， 對(duì)②相當(dāng)于（1）中，利用單調(diào)性即可得證．

（1）由，得

，則，

①當(dāng)時(shí)， ，則在上遞增，

∴，∴在上遞增，

∴，∴

②當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，

∴，∴在上遞減，

∴，且僅有，

∴時(shí)，不等式不恒成立，

③當(dāng)時(shí)，令，

當(dāng)時(shí)，，

∴在上遞減，從而，

∴在上遞增，即，且僅有，

∴時(shí)，不等式不恒成立，

綜上，的取值范圍為：．

（2）要證對(duì)，不等式恒成立，

即證，

即證，

即證①，且②，

對(duì)①相當(dāng)于（1）中，有在上遞減，

即而且僅有，取，有成立，

對(duì)②相當(dāng)于（1）中，有，而且僅有，

取，有成立，

∴對(duì)，不等式恒成立．