Question

【題目】對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a，b]
（2）判斷函數(shù)f（x）= 是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若y=k+ 是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，y=﹣x3在[a，b]上遞減，則 ，

所以，所求的區(qū)間為[﹣1，1]

（2）解： ，在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)

（3）解：若 是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，

函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇a，b]，即 ，

∴ 的兩個實(shí)數(shù)根，

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有兩個不等的實(shí)根．

當(dāng) ．

當(dāng) 此不等式組無解．

綜上所述，

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）將f（x）變形，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)閉函數(shù)的定義判斷即可；（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義得到方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有兩個不等的實(shí)根，通過討論k，得到關(guān)于k的不等式組，解出即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．