【題目】已知橢圓： 的離心率與雙曲線： 的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且與交于點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 三點(diǎn)共線．

【答案】(1) ；(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由二者離心率互為倒數(shù)以及橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立關(guān)于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)榫�段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理得到弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，所以點(diǎn)在定直線上，而兩點(diǎn)也在定直線上，所以三點(diǎn)共線．

試題解析：

（1）因?yàn)殡p曲線： 的離心率，

而橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以橢圓的離心率為，

設(shè)橢圓的半焦距為，則.①

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.②

，③

聯(lián)立①②③，解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)榫�段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為.

所以可設(shè)線段所在直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立，消去，并整理得，

顯然.

所以

，

則

因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)在定直線上，而兩點(diǎn)也在定直線上，所以三點(diǎn)共線．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間 上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2 ， x1+x2=1﹣a，則（ ）
A.f（x1）＜f（x2）
B.f（x1）=f（x2）
C.f（x1）＞f（x2）
D.f（x1）與f（x2）的大小不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=3，AB=BC=2，則球O的表面積為（ ）
A.13π
B.17π
C.52π
D.68π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在海岸線一側(cè)處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足中任意兩點(diǎn)間的距離為.公司擬按以下思路運(yùn)作：先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)處(點(diǎn)異于兩點(diǎn))，然后乘同一艘輪游輪前往島．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客處需發(fā)車2輛， 處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)元，游輪每千米耗費(fèi)元．（其中是正常數(shù)）設(shè)∠，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到島所需運(yùn)輸成本為元．

(1) 寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；

(2) 問(wèn)：中轉(zhuǎn)點(diǎn)距離處多遠(yuǎn)時(shí)， 最小？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，則函數(shù) 的定義域?yàn)椋?/span> ）
A.[0，+∞）
B.[0，16]
C.[0，4]
D.[0，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0， ]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知 ， ．
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）求f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=a2﹣3a+3有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a，b]
（2）判斷函數(shù)f（x）= 是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（3）若y=k+ 是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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