Question

【題目】已知矩形ABCD的長(zhǎng)AB=4，寬AD=3，將其沿對(duì)角線BD折起，得到四面體A﹣BCD，如圖所示，給出下列結(jié)論：
①四面體A﹣BCD體積的最大值為 ；
②四面體A﹣BCD外接球的表面積恒為定值；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn)，則恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④當(dāng)二面角A﹣BD﹣C為直二面角時(shí)，直線AB、CD所成角的余弦值為 ；
⑤當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時(shí)，棱AC的長(zhǎng)為 ．
其中正確的結(jié)論有（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①四面體ABCD體積最大值為兩個(gè)面互相垂直，四面體A﹣BCD體積的最大值為 = ，故不正確；
②三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為 ，所以三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為4 =25π；②正確；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn)，連接AF，CF則AF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC；
連接DE，BE，容易判斷△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正確；
④當(dāng)二面角A﹣BD﹣C為直二面角時(shí)，以C為原點(diǎn)CB，CD所在直線分別為x，y軸，則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為 ，所以④正確．
⑤當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時(shí)，棱AC的長(zhǎng)為 ，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，則AE=CF= ，DE=BF= ，
同理直角三角形ABC中，則EF=BD﹣DE﹣BF= ，
在平面ABD內(nèi)，過(guò)F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF= ，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C﹣BD﹣A的平面角，且為60°，
即CH=CF= ，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
則AC= = ，故⑤錯(cuò)誤；
所以答案是：②③④．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題．