以下四個(gè)命題中:
①“若x2+y2≠0,則x,y全不為零”的否命題;
②若A、B、C三點(diǎn)不共線,對平面ABC外的任一點(diǎn)O,有
OM
=
1
3
AO
+
1
3
OB
+
1
3
OC
,則點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C共面;
③若雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=0,則△PF1F2的面積為16;
④曲線
x2
25
+
y2
9
=1與曲線
x2
9-k
+
y2
25-k
=1(0<k<9)有相同的焦點(diǎn);
其中真命題的序號為
分析:①由已知可得,原命題的題設(shè)P:x2+y2≠0,結(jié)論Q:x,y全不為零,則可得其否命題;
②可由四點(diǎn)共面的向量表示的條件,利用三個(gè)向量的系數(shù)和為1,即可判斷;
③求出兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2 的坐標(biāo),Rt△PF1F2中,由勾股定理及雙曲線的定義得|PF1|•|PF2|=32,從而求得△PF1F2面積
1
2
•|PF1|•|PF2|的值;
④求出橢圓C的焦點(diǎn),再確定曲線
x2
9-k
+
y2
25-k
=1 (0<k<9)為橢圓,確定出它的焦點(diǎn).
解答:解:①①“若x2+y2≠0,則x,y全不為零”的否命題是:
“若x2+y2=0,則x,y至少有一個(gè)為零”,是假命題;
②等號右邊三個(gè)向量的系數(shù)和為
1
3
1,不滿足四點(diǎn)共面的條件,
故不能得到點(diǎn)M與A,B,C一定共面,故②為假命題;
③由題意得  a=3,b=4,c=5,∴F1  (-5,0 )、F2(5,0),
Rt△PF1F2中,由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|,
∴100=4×9+2•|PF1|•|PF2|,∴|PF1|•|PF2|=32,
∴△PF1F2面積為
1
2
•|PF1|•|PF2|=16,故③為真命題;
④由于曲線
x2
25
+
y2
9
=1的焦點(diǎn)為(-4,0),(4,0),
曲線
x2
9-k
+
y2
25-k
=1 (0<k<9)也是表示橢圓,它的焦點(diǎn)為(0,-4),(0,4),故④為假命題.
故答案為 ③
點(diǎn)評:本題考查命題真假的判斷及雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)知識點(diǎn)的考查.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

11、如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等,就稱它為“等腰四棱錐”,四條側(cè)棱稱為它的腰,以下四個(gè)命題中,假命題是

①等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等;
②等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ);
③等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓;
④等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在以下四個(gè)命題中,不正確的個(gè)數(shù)為( 。
(1)若
a
b
-
c
都是非零向量,則
a
 • 
b
=
a
 • 
c
a
⊥(
b
-
c
)的充要條件

(2)已知不共線的三點(diǎn)A、B、C和平面ABC外任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在x,y,z∈R,
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
(3)空間三個(gè)向量
a
,
b
,
c
,若
a
b
,
 b
c
,  則
a
c

(4)對于任意空間任意兩個(gè)向量
a
, 
b
,
a
b
的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使
a
b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個(gè)命題中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x、y∈R+,S=x+y,P=xy,以下四個(gè)命題中正確命題的序號是
③④
③④
.(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)
①若P為定值m,則S有最大值2
m
;②若S=P,則P有最大值4;③若S=P,則S有最小值4;④若S2≥kP總成立,則k的取值范圍為k≤4.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
①若p∨q為假命題,則p,q均為假命題;
②命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則x2-3x+2≠0”;
③命題“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,都有x2+x+1≥0”;
④在△ABC中,A<B是sinA<sinB的充分不必要條件.

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