【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求函數(shù)在上的最大值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)a≥0;(2)(-7,-3)∪(-3,+∞).
【解析】【試題分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=3x2+2ax-3,再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)先借助題設(shè)極值點(diǎn)是建立方程求出a=4,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出其最大值;(3)先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x3+4x2-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程x2+4x-(3+b)=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根,然后運(yùn)用二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系及判別式建立不等式組,通過(guò)解不等式組使得問(wèn)題獲解:
(1)f′(x)=3x2+2ax-3,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0.
∴-≤1且f′(1)=2a≥0.
∴a≥0.
(2)由題意知f′=0,即+-3=0,
∴a=4.
∴f(x)=x3+4x2-3x.
令f′(x)=3x2+8x-3=0得x=或x=-3.
∵f(-4)=12,f(-3)=18,f=-,f(1)=2,
∴f(x)在[-a,1]上的最大值是f(-3)=18.
(3)若函數(shù)g(x)=bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn),即方程x3+4x2-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根.
∵x=0是其中一個(gè)根,
∴方程x2+4x-(3+b)=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根.
∴
∴b>-7且b≠-3.
∴滿(mǎn)足條件的b存在,其取值范圍是(-7,-3)∪(-3,+∞).
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若記圖乙中第行白圈的個(gè)數(shù)為,則__________.
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(1)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率;
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