【題目】已知數(shù)列，滿足：．

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，且．

① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件．

【答案】（1）

（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項(xiàng)的差為定值來(lái)得到證明．從第二項(xiàng)起滿足題意即可．

②當(dāng)，數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次

【解析】

試題解：（1）當(dāng)時(shí)，有

．

又也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是． 4分

（2）①因?yàn)閷?duì)任意的，有，所以，

，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列． 8分

②設(shè)（其中為常數(shù)且，

所以，，

即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列． 10分

設(shè)．

（其中為中一個(gè)常數(shù)）

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有； 12分

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅰ）若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為遞減數(shù)列；

（Ⅱ）若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．

綜上所述，集合．

當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次；

當(dāng)時(shí)，數(shù)列均為單調(diào)數(shù)列，任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次． 18分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知矩形，，，將沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過(guò)程中，有下列結(jié)論正確的有_____.

①三棱錐的體積的最大值為；

②三棱錐的外接球體積不變；

③三棱錐的體積最大值時(shí)，二面角的大小是60°；

④異面直線與所成角的最大值為90°.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）求證：原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如題所示:扇形ABC是一塊半徑為2千米，圓心角為60°的風(fēng)景區(qū)，P點(diǎn)在弧BC上，現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條三條商業(yè)街道PQ、QR、RP，要求街道PQ與AB垂直，街道PR與AC垂直，直線PQ表示第三條街道。

(1)如果P位于弧BC的中點(diǎn)，求三條街道的總長(zhǎng)度；

(2)由于環(huán)境的原因，三條街道PQ、PR、QR每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300萬(wàn)元、200萬(wàn)元及400萬(wàn)元，問(wèn):這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？(精確到1萬(wàn)元)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】年月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的________；經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性.

（2）試問(wèn)是否存在，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)若討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求的值(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù),如.

參考數(shù)據(jù):

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