【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可得判定②正確；由三角形的面積公式，可求得的面積為的范圍，可判定③錯(cuò)誤；由三角形的面積公式，得到的范圍，可判定④正確.

連接，設(shè)平面與對(duì)角線交于，

由，可得平面，即平面，

所以存在點(diǎn)，使得平面平面，所以①正確；

由，

利用平面與平面平行的判定，可得證得平面平面，

設(shè)平面與交于，可得平面，所以②正確；

連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作,

在正方體中，平面，所以，

所以為異面直線與的公垂線，

根據(jù)，所以，即，

所以的最小面積為.

所以若的面積為，則，所以③不正確；

再點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，從減少趨向于0，即，

從增大到趨向于，即，在此過(guò)程中，必存在某個(gè)點(diǎn)使得，

所以④是正確的.

綜上可得①②④是正確的.

故選：C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽．經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽，規(guī)定每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)為本隊(duì)贏得10分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用表示乙隊(duì)的總得分．

（Ⅰ）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，滿足：．

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，且．

① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且0，若過(guò) A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，過(guò)定點(diǎn) M（0，2）的直線與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在x軸上是否存在點(diǎn)P（，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

從數(shù)列中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來(lái)的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱(chēng)之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．

設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無(wú)窮等差數(shù)列．

（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．

（2）若，從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問(wèn)該數(shù)列是否為的無(wú)窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若，從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)（設(shè)）作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，該數(shù)列為的無(wú)窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題：“雙曲線任意一點(diǎn)到直線的距離分別記作，則為定值”為真命題.

（1）求出的值.

（2）已知直線 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且使得上的任意點(diǎn)到的距離滿足為定值，求的方程.

（3）已知直線是與（2）中某一條直線平行（或重合）且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，直線的極坐標(biāo)方程為，直線交圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，是曲線段：（是參數(shù)，）的左、右端點(diǎn)，是上異于，的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.

（1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】河北省高考綜合改革從2018年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始實(shí)施，新高考將實(shí)行“3+1+2”模式，其中3表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校2018級(jí)入學(xué)的高一學(xué)生選科情況如下表：

選科組合

物化生

物化政

物化地

物生政

物生地

物政地

史政地

史政化

史生政

史地化

史地生

史化生

合計(jì)

男

130

45

55

30

25

15

30

10

40

10

15

20

425

女

100

45

50

35

35

35

40

20

55

15

25

20

475

合計(jì)

230

90

105

65

60

50

70

30

95

25

40

40

900

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“選擇物理與學(xué)生的性別有關(guān)”？

（2）以頻率估計(jì)概率，從該校2018級(jí)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3名同學(xué)，設(shè)這三名同學(xué)中選擇物理的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

選擇物理

不選擇物理

合計(jì)

男

425

女

475

合計(jì)

900

附表及公式：

0.150

0.100

0.050

0.010

2.072

2.706

3.841

6.635

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