Question

（2013•濟(jì)寧一模）如圖，在四棱錐S-ABC中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC，且交SC于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

分析：（I）連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接MO，利用MO為△SDB的中位線，利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；
（II）依題意，可證得CD⊥平面SAD，從而可證CD⊥AM；由SA=AD，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)可證得AM⊥SD，而CD∩SD=D，從而AM⊥平面SCD⇒AM⊥SC，進(jìn)一步可證SC⊥平面AMN，利用面面垂直的判斷定理即可證得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接MO
∵ABCD為矩形，
∴O為BD中點(diǎn)
又M為SD中點(diǎn)，
∴MO∥SB   …（3分）
MO?平面ACM，SB?平面AC…（4分）
∴SB∥平面ACM   …（5分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵ABCD為矩形，
∴CD⊥AD，且SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥AM…（8分）
∵SA=AD，M為SD的中點(diǎn)，
∴AM⊥SD，且CD∩SD=D，
∴AM⊥平面SCD，
∴AM⊥SC   …（10分）
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
∵SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面平行的判定，（Ⅰ）中證得MO為△SDB的中位線，（Ⅱ）中證得AM⊥平面SCD是關(guān)鍵，考查分析推理與證明的能力，屬于中檔題．