【題目】如圖,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點.求證:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【答案】(1)見證明;(2)見證明;(3)見證明;
【解析】
(1)取的中點,連接,證明,即可得結(jié)果;(2)取的中點,連接,可得,由平面,可得,又,從而可得平面,進而可得結(jié)果;(3)利用三角形中位線定理證明,可得四邊形為平行四邊形,,由(2)知平面,則 平面,從而可得結(jié)果.
(1)取EC的中點F,連接DF.∵FCBD,∴四邊形BDFC為平行四邊形.∴DF∥BC,又EC⊥BC,∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∵EF=EC=BD,F(xiàn)D=BC=AB,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA,∴ED=DA.
(2)取CA的中點N,連接MN,BN,則MNEC,
∴MN∥BD,∴點N在平面BDM內(nèi).
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN,又CA⊥BN,∴BN⊥平面ECA.∵BN平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵BDEC,MNEC,∴MNBD.
∴四邊形MNBD為平行四邊形,∴DM∥BN,
由(2)知BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA.
又DM平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,側(cè)面底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,,,,,E,F分別為AD,PC的中點.
Ⅰ求證:平面BEF;
Ⅱ若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),且對任意實數(shù)x1,x2,x1≠x2時,都有(f(x1)﹣f(x2))(x1﹣x2)<0.若存在實數(shù)x∈[﹣3,3],使得不等式f(a﹣x)+f(a2﹣x)>0成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣3,2)B.[﹣3,2]C.(﹣2,1)D.[﹣2,1]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中,,分別為,的中點,,如圖1.以為折痕將折起,使點到達點的位置,如圖2.
如圖1 如圖2
(1)證明:平面平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用五種不同顏色給三棱臺的六個頂點染色,要求每個點染一種顏色,且每條棱的兩個端點染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.
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【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本,測量樹苗高度(單位:,經(jīng)統(tǒng)計,其高度均在區(qū)間,內(nèi),將其按,,,,,,,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.
(1)求圖中的值,并估計這批樹苗的平均高度(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)已知所抽取的這120棵樹苗來自于,兩個試驗區(qū),部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表:
試驗區(qū) | 試驗區(qū) | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)樹苗 | 20 | ||
非優(yōu)質(zhì)樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為優(yōu)質(zhì)樹苗與,兩個試驗區(qū)有關系,并說明理由.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中.
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【題目】已知函數(shù).
(1) 如果,求函數(shù)的值域;
(2) 求函數(shù)=的最大值;
(3) 如果對不等式中的任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為三級過濾,使用壽命為十年.如圖所示,兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝,二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝。
其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)。在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立),三級濾芯無需更換,若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個元,二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯,則一級濾芯每個元,二級濾芯每個元。現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中圖是根據(jù)個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖,表是根據(jù)個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表.
二級濾芯更換頻數(shù)分布表
二級濾芯更換的個數(shù) | ||
頻數(shù) |
以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.
(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為的概率;
(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;
(3)記,分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定,的值.
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