【題目】某客戶(hù)準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過(guò)濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器采用并聯(lián)安裝，二級(jí)過(guò)濾器與三級(jí)過(guò)濾器為串聯(lián)安裝。

其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)。在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級(jí)濾芯無(wú)需更換，若客戶(hù)在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元.若客戶(hù)在使用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元�，F(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表.

二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表

二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)

頻數(shù)

以個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為的概率；

（2）記表示該客戶(hù)的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記，分別表示該客戶(hù)在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶(hù)的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）=23，=5.

【解析】

（1）根據(jù)圖表，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為，則一級(jí)個(gè)濾芯，二級(jí)個(gè)濾芯，分別算出相應(yīng)的概率，一次更換為2個(gè)一級(jí)濾芯和1個(gè)二級(jí)濾芯，從而得到概率.

（2）由柱狀圖，一級(jí)過(guò)濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)，分別得到概率，然后得到可能取的值，算出每種情況的概率，寫(xiě)出分布列及數(shù)學(xué)期望.

（3）因?yàn)?/span>且，則可分為兩類(lèi)，即和，分別計(jì)算他們的數(shù)學(xué)期望，然后進(jìn)行比較，選取較小的一組.

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器均需更換個(gè)濾芯，二級(jí)過(guò)濾器需要更換個(gè)濾芯。設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為”為事件.

因?yàn)橐粋�(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換個(gè)濾芯的概率為，二級(jí)過(guò)濾器需要更換個(gè)濾芯的概率為，

所以.

（2）由柱狀圖可知，

一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為，，的概率分別為，，.

由題意，可能的取值為，，，，，并且

，

，

，

，

.

所以的分布列為

.

（3）【解法一】

因?yàn)?/span>，，若，，

則該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為；

若，，

則該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

故，的值分別為，.

【解法二】

因?yàn)?/span>，，若，，

設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

，.

所以該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

若，，

設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

所以該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

故，的值分別為，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA.

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【題目】伴隨著智能手機(jī)的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機(jī)支付的使用比例與人的年齡存在一定的關(guān)系，某調(diào)研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了50人，對(duì)他們一個(gè)月內(nèi)使用手機(jī)支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表：

（1）若以“年齡55歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與人的年齡有關(guān)；

（2）若從年齡在，內(nèi)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為.

①求隨機(jī)變量的分布列；

②求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)如下：

0.05

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

參考格式：，其中

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【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形，，.是的中點(diǎn)，底面，在平面上的正投影為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

(1)求證：為中點(diǎn)；

(2)若，，在棱上確定一點(diǎn)，使得平面，并求出與面所成角的正弦值.

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【題目】某旅游區(qū)每年各個(gè)月份接待游客的人數(shù)近似地滿(mǎn)足周期性規(guī)律，因而第個(gè)月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示1月份，和是正整數(shù)，，. 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

① 每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

② 該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

（1）試根據(jù)已知信息，求的表達(dá)式；

（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)在400或400以上時(shí)，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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（2）若,求的取值范圍.

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（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的概率；

（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)．

⑴求橢圓的方程；

⑵若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)（三點(diǎn)不共線(xiàn)），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)，直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足.

（�。┣笞C： 是定值；

（ⅱ）設(shè)的面積為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程．

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）如果對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）設(shè)函數(shù)， ，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線(xiàn)，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

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