【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時,求證:.

【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);(2)見解析.

【解析】分析:(1)當(dāng)a=時,求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=x﹣f(x)=ex﹣(a﹣1)x,利用導(dǎo)數(shù)證明F(x)0即可.

詳解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x-ex.

令f′(x)=1-ex=0,得x=0.

當(dāng)x<0時,f′(x)>0;當(dāng)x>0時,f′(x)<0.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

(2)證明:令F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x.

①當(dāng)a=1時,F(xiàn)(x)=ex>0,∴f(x)≤x成立;

②當(dāng)1<a≤1+e時,F(xiàn)′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a1),

當(dāng)x<ln(a-1)時,F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x>ln(a-1)時,F(xiàn)′(x)>0,

∴F(x)在(-∞,ln(a-1))上單調(diào)遞減,在(ln(a-1),+∞)上單調(diào)遞增,

∴F(x)≥F(ln(a-1))=eln(a1)-(a-1)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)],

∵1<a≤1+e,∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0,

∴F(x)≥0,即f(x)≤x成立.

綜上,當(dāng)1≤a≤1+e時,有f(x)≤x.

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④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正確命題的序號是(
A.①②③
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C.①②④
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年份

1

2

3

4

5

維護(hù)費萬元

y關(guān)于t的線性回歸方程;

若該設(shè)備的價格是每臺5萬元,甲認(rèn)為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備,而乙則認(rèn)為應(yīng)該使用滿十年換一次設(shè)備,你認(rèn)為甲和乙誰更有道理?并說明理由.

參考公式:,

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其中所有真命題的序號是

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