Question

已知函數(shù)．
（1）求f（0）；
（2）探究f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f（x）為奇函數(shù)，求滿足f（ax）＜f（2）的x的范圍．

Answer 1

解：（1）f（0）=．
（2）∵f（x）的定義域?yàn)镽∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
則=．
∵y=2^x在R是單調(diào)遞增且x₁＜x₂
∴
∴


∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），
即，
解得：a=1．
∴f（ax）＜f（2）
即為f（x）＜f（2）
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增
∴x＜2．
分析：（1）直接代入即可獲得解答；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先應(yīng)在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并規(guī)定大小，然后通過作差法分析獲得兩數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系即可；
（3）充分利用好函數(shù)的奇偶性，即可求的a的值，從而將問題簡化為滿足f（x）＜f（2）求x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可獲得問題的解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了計(jì)算的能力、單調(diào)性定義的應(yīng)用以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．