【題目】已知冪函數f(x)=x(2﹣k)(1+k)(k∈Z),且f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
(1)求實數k的值,并寫出相應的函數f(x)的解析式;
(2)試判斷是否存在正數q,使函數g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x在區(qū)間[﹣1,2]上的值域為[﹣4, ].若存在,求出q的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:因為冪函數f(x)=x(2﹣k)(1﹣k)在(0,+∞)上單調遞增,
所以(2﹣k)(1+k)>0,故﹣1<k<2.
又因為k∈Z,故k=0,或k=1,所以f(x)=x2
(2)解:由(1)知g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1,
假設存在這樣的正數q符合題意,
則函數g(x)的圖象是開口向下的拋物線,
其對稱軸為x= =1﹣ <1,
因而,函數g(x)在[﹣1,2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2處取得
又g(2)=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4,從而必有g(﹣1)=2﹣3q=﹣4
解得q=2,
此時,g(x)=﹣2x2+3x+1,其對稱軸x= ∈[﹣1,2]
∴g(x)在[﹣1,2]上的最大值為g( )=﹣2×( )2+3× +1= 符合題意
【解析】(1)由f(2)<f(3)知冪函數在(0,+∞)上為增函數,故(2﹣k)(1+k)>0,解出k即可.(2)寫出g(x)的解析式g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1,為二次函數,只需考慮二次函數的對稱軸和單調性即可.
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【題目】已知數列{an}為等差數列,且a1=1.{bn}為等比數列,數列{an+bn}的前三項依次為3,7,13.求
(1)數列{an},{bn}的通項公式;
(2)數列{an+bn}的前n項和Sn .
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【題目】已知數列{an}滿足:an≠0,a1= ,an﹣an+1=2anan+1 . (n∈N*).
(1)求證:{ }是等差數列,并求出an;
(2)證明:a1a2+a2a3+…+anan+1< .
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的一個長軸頂點為A(2,0),離心率為 ,直線y=k(x﹣1)與橢圓C交于不同的兩點M,N,
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當△AMN的面積為 時,求k的值.
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【題目】已知橢圓的右焦點,橢圓的左,右頂點分別為.過點的直線與橢圓交于兩點,且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側的動點,且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(1)證明:MN∥平面PAB;
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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