Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若，

求證：直線過定點(diǎn)；

（ii）試問點(diǎn)能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)2,(2) （i）見解析（ii）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用基本不等式即可求得的最小值；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并代入若 ，得到 ，因此得證直線過定點(diǎn)；

（ii）若點(diǎn)關(guān)于軸對稱，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的外接圓的圓心坐標(biāo)和半徑，從而求出的外接圓方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意:設(shè)直線,

由消y得:,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得:=,即,,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,因?yàn)?/span>O、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以，即，解得

，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即的最小值為2.

（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本�OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,又因?yàn)?/span>,,且，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無關(guān),所以直線過定點(diǎn)(-1,0).

（ii）假設(shè)點(diǎn)，關(guān)于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,

由（i）知點(diǎn)G(,所以點(diǎn)B(,又因?yàn)橹本�過定點(diǎn)(-1,0),所以直線的斜率為，又因?yàn)?/span>，所以解得或6，又因?yàn)?/span>,所以舍去,即，此時(shí)k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標(biāo)為，G(,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述,點(diǎn)，關(guān)于軸對稱,此時(shí)的外接圓的方程為