(1)已知a,b,c為實(shí)數(shù),證明a,b,c均為正整數(shù)的充要條件是數(shù)學(xué)公式;
(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是實(shí)數(shù),證明α,β,γ是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是數(shù)學(xué)公式

證明:(1)條件的必要性是顯然的,
因?yàn)橐阎猘>0,b>0,c>0,
所以立即可得a+b+c>0,
ab+bc+ca>0,abc>0.
下面證明條件的充分性:
設(shè)a,b,c是三次方程x3+px2+qx+r=0的三個(gè)根,
則由根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件有-p=a+b+c>0,
q=ab+bc+ca>0,-r=abc>0,
此即p<0,q>0,r<0.
由此即可知三次方程x3+px2+qx+r=0的系數(shù)正負(fù)相間,
所以此方程無負(fù)根,即方程根均非負(fù);
又由abc>0可知,方程無零根,
故a>0,b>0,c>0;
(2)由(1)的證明可知,α,β,γ均為正數(shù)的充要條件是p<0,q>0,r<0.
于是問題轉(zhuǎn)化為證明α,β,γ為三角形三條邊的充要條件為p3>4pq-8r
條件的必要性:
若α,β,γ為三角形的三邊,
則由三角形的性質(zhì)必有α+β>γ,β+γ>α,γ+α>β.
于是α+β-γ>0,β+γ-α>0,γ+α-β>0.
由此可得(α+β-γ)(β+γ-α)(γ+α-β)
=(-p-2α)(-p-2β)(-p-2γ)
=-(p+2α)(p+2β)(p+2γ)
=-[p3+2(α+β+γ)p2+4(βγ+γα+αβ)p+8αβγ]
=-(p3-2p3+4pq-8r)=p3-4pq+8r>0
即p3>4pq-8r.
條件的充分性:若p3>4pq-8r,
則p3-4pq+8r>0,
-(α+β+γ)3+4(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-8αβγ>0,
(α+β+γ)(2αβ+2βγ+2γα-α222)-8αβγ>0,
[α+(β+γ)][-(β-γ)2+2α(β+γ)-α2]-8αβγ>0,
32(β+γ)+α(β-γ)2-(β+γ)(β-γ)2>0,
α2(-α+β+γ)+(β-γ)2(α-β-γ)>0,
(-α+β+γ)[α2-(β-γ)2]>0,
(-α+β+γ)(α+β-γ)(α-β+γ)>0.
此式中至少有一因式大于0,今設(shè)-α+β+γ>0,
則必有(α+β-γ)(α-β+γ)>0.
如果α+β-γ<0,α-β+γ<0,
兩式相加得2a<0,
即α<0,此與α>0相矛盾
故有-α+β+γ>0,α+β-γ>0,α-β+γ>0,
此即
此即α,β,γ可作為一個(gè)三角形的三條邊.
綜上所證可知,
方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ為一個(gè)三角形的三條邊的充要條件是

分析:(1)必要性顯然,關(guān)鍵是證明充分性.可設(shè)a,b,c是三次方程x3+px2+qx+r=0的三個(gè)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件即可證明a,b,c滿足的條件,從而得出a,b,c是整數(shù).
(2)借助(1)的證明,問題轉(zhuǎn)化為證明α,β,γ為三角形三條邊的充要條件為p3>4pq-8r.由三角形的性質(zhì)和適當(dāng)?shù)挠?jì)算,即可證明此充要條件.
點(diǎn)評(píng):此題考查必要條件、充分條件與充要條件的判別,同時(shí)考查三次方程根的相關(guān)知識(shí)以及三角形邊的性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c為實(shí)數(shù),證明a,b,c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0
;
(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是實(shí)數(shù),證明α,β,γ是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是
p<0,q>0,r<0
p3>4pq-8r

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:
b2-ac
a
3
;
(2)若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時(shí)的不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2
1
3

(2)a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc=1,求證:
1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c均為實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2

(2)若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+
1
3
,b=y2-2z+3,c=z2-2x+
1
6
.求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca;
(2)設(shè)a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8

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