(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:
b2-ac
a
3
;
(2)若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時(shí)的不等式.
分析:(1)a>b>c,a+b+c=0⇒a>0,b=-(a+c),(a-b)(a-c)>0,將b=-(a+c)代入(a-b)(a-c)>0整理即可證得結(jié)論;
(2)先計(jì)算n=1時(shí)的情形,猜測(cè)a的值,再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
解答:(1)證明:∵a>b>c,
∴(a-b)(a-c)>0①,又a+b+c=0,故a>0,
∴b=-(a+c)代入①得
(2a+c)(a-c)>0,即2a2-ac-c2>0,
∴a2+ac+c2<3a2,(1)
又a2+ac+c2=(a+
c
2
)
2
+
3c2
4
≥0,②
(1)式兩邊開方得:
a2+ac+c2
3
a,a>0,
a2+ac+c2
a
3
,即
(a+c)2-ac
a
3
,而b=-(a+c),
b2-ac
a
3

(2)證明:當(dāng)n=1時(shí),
1
1+1
+
1
1+2
+
1
1+3
=
26
24
a
24
,
∴a<26,又a∈N*
∴取a=25,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
25
24
.,
①當(dāng)n=1時(shí),已證;
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
25
24
成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),有
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3(k+1)+1

=(
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
)+(
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1

25
24
+
1
3k+2
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
,
1
3k+2
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
=
2
3(k+1)(3k+2)(3k+4)
>0,
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3(k+1)+1
25
24
成立;
由①②可知,對(duì)一切n∈N*,都有不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
25
24
成立. 
∴a的最大值為25.
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,突出運(yùn)算與推理能力的考查,屬于難題.
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(1)已知a,b,c為實(shí)數(shù),證明a,b,c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0

(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是實(shí)數(shù),證明α,β,γ是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是
p<0,q>0,r<0
p3>4pq-8r

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2
1
3
;
(2)a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc=1,求證:
1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c均為實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2

(2)若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+
1
3
,b=y2-2z+3,c=z2-2x+
1
6
.求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca;
(2)設(shè)a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8

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