(1)已知a,b,c均為實數(shù),求證:a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2

(2)若a,b,c均為實數(shù),且a=x2-2y+
1
3
,b=y2-2z+3,c=z2-2x+
1
6
.求證:a,b,c中至少有一個大于0.
分析:(1)利用分析法,要證a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2
,需證…,只需證…,即證(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,該式成立,從而可證原結(jié)論成立;
(2)利用反證法,假設(shè)a,b,c中沒有一個大于0(即均≤0),導(dǎo)出矛盾,從而使要證的結(jié)論成立.
解答:解:(1)要證a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2

需證3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即證2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,
即證(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,該式顯然成立,
故原結(jié)論成立;
(2)假設(shè)
a≤0
b≤0
c≤0
,即
x2-2y+
1
3
≤0①
y2-2z+3≤0②
z2-2x+
1
6
≤0③

①+②+③得:x2+y2+z2-2x-2y-2z+3+
1
3
+
1
6
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
1
2
≤0,
∵(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,(z-1)2≥0,
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
1
2
1
2
,
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
1
2
≤0是不可能的,即x2+y2+z2-2x-2y-2z+3+
1
3
+
1
6
≤0是不可能的,
∴假設(shè)不成立,
∴a,b,c中至少有一個大于0.
點評:本題考查不等式的證明,著重考查分析法與反證法的應(yīng)用,考查推理證明能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c為實數(shù),證明a,b,c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0

(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是實數(shù),證明α,β,γ是一個三角形的三邊的充要條件是
p<0,q>0,r<0
p3>4pq-8r

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:
b2-ac
a
3
;
(2)若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時的不等式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2
1
3
;
(2)a,b,c為互不相等的正數(shù),且abc=1,求證:
1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca;
(2)設(shè)a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案