Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若是的一個(gè)極小值點(diǎn)，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，，，得到切線方程.

（2）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況， 時(shí)必存在，使，計(jì)算單調(diào)區(qū)間得到極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

（3），即，代入得到，設(shè)，確定函數(shù)單調(diào)遞減得到，令，確定單調(diào)性得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，.

從而在處的切線方程為，即.

（2），，

①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令，，

顯然函數(shù)在是增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，，

必存在，使，

，，，為減函數(shù)，

，，，為增函數(shù)，

所以，是的極小值點(diǎn)，

綜上：當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn).

（3）由（2）得：，即，

，

因?yàn)?/span>，所以，

令，，在上是減函數(shù)，

且，由得，所以.

設(shè)，，，

，，所以為增函數(shù)，

即，即，所以，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

相乘得，

所以，

結(jié)論成立.