在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點,若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動點,且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.
(1)雙曲線C1
x2
1
2
-
y2
1
=1
左頂點A(-
2
2
,0
),
漸近線方程為:y=±
2
x.
過A與漸近線y=
2
x平行的直線方程為y=
2
(x+
2
2
),即y=
2
x+1
,
所以
y=-
2
x
y=
2
x+1
,解得
x=-
2
4
y=
1
2

所以所求三角形的面積為S=
1
2
|OA||y|=
2
8

(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,
因直線PQ與已知圓相切,故
|b|
2
=1
,
即b2=2,由
y=kx+b
2x2-y2=1
,
得x2-2bx-b2-1=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
x1+x2=2b
x1x2=-1-b2
,
又y1y2=(x1+b)(x2+b).
所以
OP
OQ
=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2
=b2-2=0.
故PO⊥OQ.
(3)當(dāng)直線ON垂直x軸時,|ON|=1,|OM|=
2
2
,則O到直線MN的距離為
3
3

當(dāng)直線ON不垂直x軸時,設(shè)直線ON的方程為:y=kx,(顯然|k|>
2
2
),
則直線OM的方程為y=-
1
k
x
,由
y=kx
4x2+y2
=1
x2=
1
4+k2
y2=
k2
4+k2
,
所以|ON|2=
1+k2
4+k2

同理|OM|2=
1+k2
2k2-1
,
設(shè)O到直線MN的距離為d,
因為(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2
所以
1
d2
=
1
|OM|2
+
1
|ON|2
=
3+3k2
k2+1
=3,
即d=
3
3

綜上,O到直線MN的距離是定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
6
3
,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某圓錐曲線有下列信息:
①曲線是軸對稱圖形,且兩坐標(biāo)軸都是對稱軸;
②焦點在x軸上且焦點到坐標(biāo)原點的距離為1;
③曲線與坐標(biāo)軸的交點不是兩個;
④曲線過點A(1,
3
2
).
(1)判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程;
(2)點F是改圓錐曲線的焦點,點F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點,點P為曲線上的動點,探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點A(m,4)到其焦點F的距離為
17
4

(1)求P與m的值;
(2)若直線l過焦點F交拋物線于P,Q兩點,且|PQ|=5,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點F以及橢圓C2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的上、下焦點及左、右頂點均在圓O:x2+y2=1上.
(1)求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點F的直線交拋物線C1于A,B兩不同點,交y軸于點N,已知
NA
=λ1
AF
,
NB
=λ2
BF
,則λ12是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M點,過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點(A在M、B之間).
(1)F為拋物線C的焦點,若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(2)如果拋物線C上總存在點Q,使得QA⊥QB,試求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
1
2
,短軸長為2
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)從定點M(0,2)任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點A、B,記線段AB的中點為P,試求點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過橢圓C內(nèi)一點M(m,0),與橢圓C交于P、Q兩點.對給定的m值,若存在直線l及直線母x=-2上的點N,使得△PNQ的垂心恰為點F,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若直線y=k(x-2)+1與曲線y=-
1-x2
有兩上不同的交點,則k的取值范圍是(  )
A.[1,
4
3
]
B.[1,
4
3
)
C.(
3
4
,1]
D.(0,
4
3
)

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同步練習(xí)冊答案