Question

【題目】已知函數(shù)，

(Ⅰ)若討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的兩條不同切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：(Ⅰ)分 討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)求出經(jīng)過點(diǎn)P的切線方程，由 在切線上，得到 ，問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的正數(shù)解，令，由單調(diào)性求出a的范圍.

試題解析：(Ⅰ)

①當(dāng)時(shí)， ,此時(shí), 上是減函數(shù)

②當(dāng)時(shí), ,得；

，得

此時(shí), 在上單調(diào)遞減，在是增函數(shù)

③當(dāng)時(shí)，解，得，

此時(shí), 在和是減函數(shù)，在是增函數(shù)

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線的斜率為，

所以過點(diǎn)的切線方程為．

因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以

即．

若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的兩條不同切線，

則方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解．

令，則函數(shù)與軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

令，解得或．

因?yàn)?/span>， ，

所以必須，即．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．