Question

如圖，已知D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是線(xiàn)段DE上的任意一點(diǎn)，DE∥BC，且S_△ABC=1，求證：△BDF和△CEF中至少有一個(gè)三角形的面積不大于

1

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,反證法與放縮法

專(zhuān)題：推理和證明

分析：通過(guò)F為DE的中點(diǎn)，兩個(gè)三角形△BDF和△CEF面積相等，求出面積的最大值，即可證明結(jié)果．

解答：解：設(shè)A到BC的距離為h，由題意S_△ABC=1，可知BC•h=2．
要證明△BDF和△CEF中至少有一個(gè)三角形的面積不大于

1

8

．
只要證明，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，兩個(gè)三角形△BDF和△CEF面積相等，求出面積的最大值不大于

1

8

即可．
設(shè)EF=x，h₁為A到EF的距離，則

2x

BC

=

h1

h

，h₁=

2xh

BC

△BDF和△CEF的高h(yuǎn)-h₁=h-

2xh

BC

=h-h²x．
△BDF和△CEF的面積為S=

1

2

x(h-h1)=

1

2

[hx-（hx）²]，
當(dāng)hx=

1

2

時(shí)，S取得最大值：

1

2

(

1

2

-(

1

2

)2)=

1

8

．
這就是說(shuō)，兩個(gè)三角形面積相等的最大值不大于

1

8

，
所以：△BDF和△CEF中至少有一個(gè)三角形的面積不大于

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分析法與綜合法的應(yīng)用，三角形面積的最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．