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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線，過右焦點F2，且它們的斜率乘積為，設，分別與橢圓交于點，和，，的中點為，的中點為，求面積的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意列出方程組，解出和的值即可得解；

（2）設直線的方程為，，則直線方程為，然后分別聯(lián)立直線和橢圓的方程，以及直線和橢圓的方程，再結合韋達定理得到，從而得到點的坐標，因此，最后結合均值不等式即可求得面積最大值．

解：（1）由題可知，，

解得，

故橢圓的標準方程為．

（2）設直線的方程為，，

聯(lián)立，

消去得，

所以，

因為的中點為，

所以，，

因為直線的斜率為，且與的斜率乘積為，

所以直線方程為，

同理可得，，

所以，

所以的中點為．

因此．

當且僅當，即時取等號，

故△OMN面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（，）.

（1）當（e為自然對數的底數）時，

（i）若在上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）當時，，，數列滿足.求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，為橢圓C上一點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左、右頂點分別為，，過，分別作x軸的垂線，，橢圓C的一條切線與，交于M，N兩點，求證：是定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.

（1）求拋物線的方程及點的坐標；

（2）設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖②.

(1)求證：AM∥平面BEC；

(2)求點D到平面BEC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，在三棱柱中，，，，如圖.

（1）求證：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦.

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【題目】如圖，已知三棱柱中，側棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點，點在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，離心率為，直線恒過的一個焦點.

（1）求的標準方程；

（2）設為坐標原點，四邊形的頂點均在上，交于，且，若直線的傾斜角的余弦值為，求直線與軸交點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的圖象經過點.

（1）求拋物線的方程和焦點坐標；

（2）直線交拋物線于，不同兩點，且，位于軸兩側，過點，分別作拋物線的兩條切線交于點，直線，與軸的交點分別記作，．記的面積為，面積為，面積為，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

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