Question

如圖，正三棱柱ABC一A₁B₁C₁的棱長均為2a，E為CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥BE；
（Ⅱ）求三棱錐B一AB₁E的體積．

Answer 1

分析：（I）取BC中點M，連AM，B₁M，則AM⊥BC，由BB₁⊥平面ABC，知BB₁⊥AM，BC∩BB₁=B，由此能夠證明AB₁⊥BE．
（II）VE-AE1E=VE-AEE1=VC-AEE1=VE1-ABC，由此能求出三棱錐B一AB₁E的體積．

解答：證明：（I）取BC中點M，連AM，B₁M，則AM⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AM，BC∩BB₁=B
∴AM⊥平面BB₁C₁C
由條件△BCE≌△B₁BM，
∴∠BB₁M=∠CBE，而∠CBE+∠EBB₁=90°
∴∠BB₁M+∠EBB₁=90°，則B₁M⊥BE
∵B₁M為B₁A在平面BB₁C₁C上的射影，
∴AB₁⊥BE．
（II）VE-AE1E=VE-AEE1=VC-AEE1=VE1-ABC
=

1

3

•

3

4

(2a)2•2a
=

2 3

3

a3．

點評：本題考查直線關系的證明和棱錐體積的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．