如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.
分析:(Ⅰ)取BC中點O,連接AO,取B1C1中點O1,以0為原點,OB,OO1 ,OA 的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量
AB1
=(1,2,-
3
)
,
A1B
=(-1,2, 
3
)
,
BD
=(-2,1,0)
,驗證
AB1
• 
A1B
=0,
A1B
• 
BD
=-2+2+0=0
,即可證明AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求出平面A1BD的法向量為
AB1
=(1,2,-
3
)
,平面A1AD的法向量為
n
=(-
3
,0,1)
,再利用向量的夾角公式,即可求得二面角A-A1D-B的正弦值.
解答:解:取BC中點O,連接AO.
∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1
取B1C1中點O1,以0為原點,OB,OO1 ,OA 的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,
3
),A(0,0,
3
),B1(1,2,0),
(Ⅰ)
AB1
=(1,2,-
3
)
,
A1B
=(-1,2, 
3
)
,
BD
=(-2,1,0)

AB1
• 
A1B
=-1+4-3=0,
A1B
• 
BD
=-2+2+0=0

∴AB1⊥BD,AB1 ⊥BA1 ,
∴AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)平面A1BD的法向量為
AB1
=(1,2,-
3
)

設(shè)平面A1AD的法向量為
n
=(x,y,z),∴
n
AA1
=0
n
AD
=0
,∴
2y=0
-x+y-
3
z=0

令z=1、y=0、x=-
3
,則
n
=(-
3
,0,1)

∴cos
n
,
AB1
>  =-
6
4

設(shè)二面角A-A1D-B的平面角為θ,即cosθ=
6
4

sinθ=
1-
6
16
=
10
4

即二面角A-A1D-B的正弦值為
10
4
點評:本題考查直線與平面垂直的判定,二面角的求法,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計算能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a,E是BB1的中點.
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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是( 。
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點O為AB1上的動點,當(dāng)OD∥平面ABC時,求
AOOB1
的值.

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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點.
(Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
(Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大。

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