(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設點O為AB1上的動點,當OD∥平面ABC時,求
AOOB1
的值.
分析:(Ⅰ)由三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,取BC邊的中點M,連結(jié)AM,可證AM垂直于底面,從而得到AM垂直于BD,在正方形BB1C1C中,通過直角三角形角的關系可證BD⊥B1M,利用線面垂直的判定定理得到要證的結(jié)論;
(Ⅱ)取AA1的中點為N,連結(jié)ND,OD,ON.利用線面平行的判定定理證明線面平行,從而得到面面平行,再借助于兩面平行的性質(zhì)得到線線平行,根據(jù)N點是AA1的中點,得到O為AB1的中點,即
AO
OB1
=1
解答:(Ⅰ)證明:取BC中點為M,連結(jié)AM,B1M,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,面ABC⊥面CB1,△ABC為正三角形,
所以AM⊥BC,
故AM⊥平面CB1,又BD?平面CB1,
所以AM⊥BD.
又正方形BCC1B1中,tan∠BB1M=tan∠CBD=
1
2
,
所以∠BB1M=∠CBD,
所以BD⊥B1M,又B1M∩AM=M,
所以BD⊥平面AB1M,故AB1⊥BD,
又正方形BAA1B1中,AB1⊥A1B,A1B∩BD=B,
所以AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)取AA1的中點為N,連結(jié)ND,OD,ON.
因為N,D分別為AA1,CC1的中點,所以ND∥平面ABC,
又OD∥平面ABC,ND∩OD=D,所以平面NOD∥平面ABC,
所以ON∥平面ABC,又ON?平面BAA1B1,平面BAA1B1∩平面ABC=AB,
所以ON∥AB,注意到AB∥A1B1,所以ON∥A1B1,又N為AA1的中點,
所以O為AB1的中點,即
AO
OB1
=1
為所求.
點評:本題考查了直線與平面垂直的判定,考查了直線與平面平行的判定,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力,是中檔題.
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