【題目】在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7n mile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55n mile處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40n mile的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東(其中,)且與點(diǎn)A相距10n mile的位置C

I)求該船的行駛速度(單位:n mile /h;

II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由.

【答案】I)船的行駛速度為(海里/小時(shí)).II)船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

【解析】

試題(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值,從而可求出船的行駛速度.

(II)判斷船是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,關(guān)鍵是看點(diǎn)E到直線l的距離與半徑7的關(guān)系,因而可求出直線l的方程,以及E點(diǎn)坐標(biāo),然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論.

I)如圖,AB=40,AC=10,

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為(海里/小時(shí)).

II)解法一 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是Bx1y2, Cx1,y2,

BCx軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有,x1=y1=AB=40,

x2=ACcos,

y2=ACsin

所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E0,-55)到直線l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二: 如圖所示,設(shè)直線AEBC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.

△ABC中,由余弦定理得,

==.

從而

中,由正弦定理得,AQ=

由于AE=55>40=AQ,所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間,且QE=AE-AQ=15.

過點(diǎn)EEPBC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

Rt中,PE=QE·sin

=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

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