【題目】已知函數(shù).

1,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

2若曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】12.

【解析】

試題分析:1求點(diǎn)處的切線方程,只要求出導(dǎo)數(shù),則有切線方程為;2曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),說(shuō)明關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根,不可能是根,因此方程可轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)實(shí)根,這樣問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,函數(shù)值變化情況,作出簡(jiǎn)圖就可得出結(jié)論.

試題解析:1,,,所以切線方程為.

2曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根.

顯然,所以方程只有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)函數(shù),則.

設(shè),為增函數(shù),又.

所以當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);

當(dāng)時(shí),為減函數(shù);

當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);

所以時(shí)取極小值.

又當(dāng)趨向于時(shí),趨向于正無(wú)窮;

又當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí),趨向于負(fù)無(wú)窮;

又當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí),趨向于正無(wú)窮.所以圖象大致如圖所示:

所以方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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C.
D.

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