【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+m)lnx,曲線y=f(x)在x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處得到切線與圓x2+y2=5在點(diǎn)(2,﹣1)處的切線平行.
(1)證明: ;
(2)若不等式(ax+1)(x﹣1)<(a+1)lnx在x∈(0,1)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵f(x)=(x+m)lnx,

∴f′(x)=lnx+

易知圓x2+y2=5在點(diǎn)(2,﹣1)處的切線方程是2x﹣y=5,

由題意得f′(e)=2,即lne+ =2,解得:m=0,

∴f(x)=xlnx,f′(x)=lnx+1,

令f′(x)=0,解得:x= ,

x∈(0, )時,f′(x)<0,

故f(x)在(0, )遞減,

x∈( ,+∞)時,f′(x)>0,

故f(x)在( ,+∞)遞增,

故f(x)在x= 處取極小值,也是最小值,最小值是f( )=﹣

又﹣ >﹣ ,故f(x)>﹣


(2)解:若不等式(ax+1)(x﹣1)<(a+1)lnx在x∈(0,1)上恒成立,

則(a+1)lnx+ ﹣ax+a﹣1>0在x∈(0,1)上恒成立,

設(shè)h(x)=(a+1)lnx+ ﹣ax+a﹣1,x∈(0,+∞),

則h′(x)= ,

①a≤0時,h′(x)<0在(0,1)恒成立,

故h(x)在(0,1)遞減,又h(1)=0,

故x∈(0,1)時,總有h(x)>0,符合題意;

②a>1時,令h′(x)=0,解得:x= 或x=1,

易知h(x)在(0, )遞減,在( ,1)遞增,又h(1)=0,

故x∈( ,1)時,總有h(x)<0,不符合題意;

③0<a≤1時,h′(x)<0在(0,1)恒成立,

故h(x)在(0,1)遞減,又h(1)=0,

故x∈(0,1)時,總有h(x)>0,符合題意;

綜上,a的范圍是(﹣∞,1]


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出m的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為(a+1)lnx+ ﹣ax+a﹣1>0在x∈(0,1)上恒成立,設(shè)h(x)=(a+1)lnx+ ﹣ax+a﹣1,x∈(0,+∞),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

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