【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形中， 是邊的中點(diǎn)．將沿折起使得平面平面，如圖2， 是折疊后的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面；（2）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間相等或互補(bǔ)關(guān)系求解.

試題解析：（Ⅰ） 證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，

∵為中點(diǎn)，∴ ， ，

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴，又平面， 平面，

∴平面

（Ⅱ）如圖示以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系

則由已知得，

，

設(shè)平面的法向量為

則

解得一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量為

則

解得一個(gè)法向量為

∵， ，

∴二面角的平面角的余弦值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

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支付金額（元）

支付方式

大于

僅使用

人

人

人

僅使用

人

人

人

（1）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人，以表示這人中上個(gè)月支付金額大于元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

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【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績(jī)分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？

文科生

理科生

合計(jì)

獲獎(jiǎng)

6

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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