(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,且短軸一頂點(diǎn)B滿足,
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ)過的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,則△MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請說明理由。
(Ⅰ)=1;(Ⅱ)直線l:x=1,△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π。
解析試題分析:(Ⅰ)由題,設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),不妨設(shè)B(0,b),
則,
故橢圓方程為=1;
(Ⅱ) 設(shè)M,N,不妨設(shè)>0, <0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓半徑為R,
則△MN的周長=4a=8,(MN+M+N)R=4R因此最大,R就最大,
,
由題知,直線l的斜率不為零,可設(shè)直線l的方程為x=my+1,
由得+6my-9=0,
則==,
令t=,則t≥1,則,
令f(t)=3t+,則f′(t) =3-,當(dāng)t≥1時(shí),f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
故有f(t)≥f(1)="4," ≤=3,
即當(dāng)t=1,m=0時(shí),≤="3," =4R,∴=,
這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.
故直線l:x=1,△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π。
考點(diǎn):橢圓的簡單性質(zhì);直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評:直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△AMN得面積為時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) ,且焦點(diǎn)在x軸上,若M的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),M的離心率,過M的右焦點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線,交M于A,B兩點(diǎn)。
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)N(t,0)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(滿分10分)(Ⅰ) 設(shè)橢圓方程的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)M是橢圓上異于的任意一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求證為定值并求出此定值;
(Ⅱ)設(shè)橢圓方程的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)M是橢圓上異于的任意一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,利用(Ⅰ)的結(jié)論直接寫出的值。(不必寫出推理過程)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過點(diǎn),又知直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若,求實(shí)數(shù)k值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖橢圓的上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B, F為右焦點(diǎn), 過F作平行于AB的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn). 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上。
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,求拋物線的方程和m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知雙曲線的離心率為,且過點(diǎn)P().
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且
(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
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