Question

【題目】直線l過曲線C：yx2的焦點F，并與曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．

（1）求證：x1x2＝﹣16；

（2）曲線C分別在點A，B處的切線（與C只有一個公共點，且C在其一側(cè)的直線）交于點M，求點M的軌跡．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）直線

【解析】

（1）求得拋物線的焦點，設出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，消去，得到的二次方程，運用韋達定理，即可得證；

（2）求得的導數(shù)，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線，的方程，注意，的坐標滿足拋物線方程，聯(lián)立切線方程，解得的坐標，即可得到所求軌跡．

（1）證明：曲線的焦點為，

由題意可得直線的斜率存在，設直線的方程為，

由，消可得，

，，，，

；

（2）由（1）可得，，

由，可得，

切線方程分別為，，

且，，可得，

解得，，

則的軌跡為直線．