設函數(shù)f(x)定義在R上,對任意mn恒有f(m+n)=f(mf(n),且當x>0時,0<f(x)<1.

(1)求證: f(0)=1,且當x<0時,f(x)>1;

(2)求證:f(x)在R上單調(diào)遞減;

(3)設集合A={ (xy)|f(x2f(y2)>f(1)},集合B={(xy)|f(axg+2)=1,a∈R},若AB=,求a的取值范圍.

(1) 證明略(2)證明略(3) a∈[-


解析:

m>0,n=0得  f(m)=f(mf(0). ∵f(m)≠0,∴f(0)=1

m=m,n=-m,(m<0),得f(0)=f(m)f(-m)

f(m)=,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1

(2)證明:任取x1x2∈R,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2x1)+x1

=f(x1)-f(x2x1f(x1)=f(x1)[1-f(x2x1)],

f(x1)>0,1-f(x2x1)>0,∴f(x1)>f(x2),

∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).

(3)由

由題意此不等式組無解,數(shù)形結合得:≥1,解得a2≤3

a∈[-,

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設函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上,f(1)=0,導函數(shù),g(x)=f(x)+f′(x),
(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與的大小關系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<對任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由。

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