Question

【題目】已知雙曲線C和橢圓1有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）作直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) x2﹣y2＝1；(2) 2x﹣y﹣3＝0．

【解析】

（1）由橢圓方程求得雙曲線的半焦距，結(jié)合離心率求得實半軸長，再由隱含條件求得虛半軸長，則雙曲線C的方程可求；

（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”求得斜率，則直線l的方程可求．

（1）由橢圓1，得a2＝3，b2＝1，

∴c，則雙曲線的半焦距c＝2，

又其離心率為，則其實半軸長為1，虛半軸長為．

∴雙曲線C的方程為x2﹣y2＝1；

（2）由題意可知，直線l的斜率存在．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則，，

兩式作差可得：（x1﹣x2）（x1+x2）＝（y1﹣y2）（y1+y2），

得，

∵M（2，1）為AB的中點(diǎn)，∴，

∴直線l的方程為y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0．