【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, 軸,直線軸于點(diǎn),,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),的面積最大值為1.

(1)求橢圓的方程;

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于,且使軸,問(wèn)四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】分析:(Ⅰ)意味著通徑的一半,最大面積為,所以,故橢圓的方程為.

(Ⅱ)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,猜測(cè)定點(diǎn)必定在軸上,故可設(shè),則,,再設(shè),根據(jù)三點(diǎn)共線可以得到,聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后消去,利用韋達(dá)定理可以得到,從而過(guò)定點(diǎn),同理直線也過(guò)即兩條直線交于定點(diǎn).

詳解:(Ⅰ)設(shè),由題意可得,即.

的中位線,且,

,即,整理得.①

又由題知,當(dāng)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),的面積最大,

,整理得,即,②

聯(lián)立①②可得,變形得,解得,進(jìn)而.

∴橢圓的方程式為.

(Ⅱ)設(shè),,則由對(duì)稱(chēng)性可知,.

設(shè)直線軸交于點(diǎn),直線的方程為

聯(lián)立,消去,得

,,

三點(diǎn)共線,即,

,代入整理得,

,從而,化簡(jiǎn)得,解得,于是直線的方程為, 故直線過(guò)定點(diǎn).同理可得過(guò)定點(diǎn),

∴直線的交點(diǎn)是定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)正實(shí)數(shù)均不為,則關(guān)于二次函數(shù),下列說(shuō)法中不正確的是(

A.三點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)在第一象限

B.函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)

C.

D.,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對(duì)任意的恒成立,且當(dāng)時(shí),.

1)求證:是以2為周期的函數(shù)(不需要證明2的最小正周期);

2)對(duì)于整數(shù),當(dāng)時(shí),求函數(shù)的解析式;

3)對(duì)于整數(shù),記有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根},求集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】從某小區(qū)抽取50戶(hù)居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,將用電量的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如下.

(1)求頻率分布直方圖中的值并估計(jì)這50戶(hù)用戶(hù)的平均用電量;

(2)若將用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶(hù)記為類(lèi)用戶(hù),標(biāo)記為低用電家庭,用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶(hù)記為類(lèi)用戶(hù),標(biāo)記為高用電家庭,現(xiàn)對(duì)這兩類(lèi)用戶(hù)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,讓其對(duì)供電服務(wù)進(jìn)行打分,打分情況見(jiàn)莖葉圖:

①?gòu)?/span>類(lèi)用戶(hù)中任意抽取3戶(hù),求恰好有2戶(hù)打分超過(guò)85分的概率;

②若打分超過(guò)85分視為滿(mǎn)意,沒(méi)超過(guò)85分視為不滿(mǎn)意,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“滿(mǎn)意度與用電量高低有關(guān)”?

滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

合計(jì)

類(lèi)用戶(hù)

類(lèi)用戶(hù)

合計(jì)

附表及公式:

<>0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

, .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】四名同學(xué)各擲骰子5次,分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

A.平均數(shù)為3.中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3.眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2.方差為2.4D.中位數(shù)為3.方差為2.8

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【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一名學(xué)生通過(guò)計(jì)步儀器,記錄了自己100天每天走的步數(shù),數(shù)據(jù)如下:

5678 13039 8666 9521 8722 10575 2107 4165

17073 11205 5467 11736 9986 8592 6542 12386

13115 5705 8358 13234 20142 9769 10426 12802

16722 8587 9266 8635 2455 4524 8260 13165

9812 9533 2377 5132 8212 7968 9859 3961

5484 11344 8722 12944 8597 12594 15101 4751

11130 11286 8897 7192 7313 8790 7699 10892

9583 9207 16358 10182 3607 1789 9417 4566

12347 3228 7606 8689 8755 15609 8767 9226

5622 11094 8865 11246 17417 7995 7317 6878

4270 11051 5705 5442 10078 9107 8354 6483

16808 1509 1301 10843 13864 12691 8419 14267

9809 9858 8922 12682

1)畫(huà)出這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,并分析數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn);

2)計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,并根據(jù)這些數(shù)值描述這名學(xué)生的運(yùn)動(dòng)情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義證明;

(2)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)?若有零點(diǎn),用“二分法”求零點(diǎn)的近似值(精確度0.3);若沒(méi)有零點(diǎn),說(shuō)明理由.

(參考數(shù)據(jù):,,,,).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)求證:當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),平面;

(Ⅱ)設(shè),試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在,求出這個(gè)實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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