【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)9.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式,即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程,消去參數(shù),即可得到直線的普通方程;
(Ⅱ)由題意,把直線l的參數(shù)方程可化為 (為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程中,利用參數(shù)的幾何意義,即可求解.
(Ⅰ)由,得,
又由 ,
得曲線C的直角坐標(biāo)方程為,即 ,
由,消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為.
(Ⅱ)由題意直線l的參數(shù)方程可化為 (為參數(shù)),
代入曲線的直角坐標(biāo)方程得.
由韋達(dá)定理,得,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè):實(shí)數(shù)滿足,其中;
:實(shí)數(shù)滿足.
(Ⅰ)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn),右焦點(diǎn)為.延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),且滿足.
(1)試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作與軸不重合的直線和橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為點(diǎn),且直線分別與直線交于兩點(diǎn),記直線的斜率分別為,則與之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的范圍;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的范圍;
(3)在(2)的條件下,若的兩個(gè)極值點(diǎn)為 ,求證: .
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【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, 軸,直線交軸于點(diǎn),,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),的面積最大值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,過點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于,且使軸,問四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實(shí)常數(shù)k和b,使得函數(shù)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足:恒成立,則稱此直線的“隔離直線”,已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),有下列命題:
①內(nèi)單調(diào)遞增;
②之間存在“隔離直線”,且b的最小值為;
③之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是;
④之間存在唯一的“隔離直線”.
其中真命題的序號(hào)為__________.(請(qǐng)?zhí)顚懻_命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高二某班共有20名男生,在一次體驗(yàn)中這20名男生被平均分成兩個(gè)小組,第一組和第二組男生的身高(單位: )的莖葉圖如下:
(1)根據(jù)莖葉圖,分別寫出兩組學(xué)生身高的中位數(shù);
(2)從該班身高超過的7名男生中隨機(jī)選出2名男生參加;@球隊(duì)集訓(xùn),求這2名男生至少有1人來自第二組的概率;
(3)在兩組身高位于(單位: )的男生中各隨機(jī)選出2人,設(shè)這4人中身高位于(單位: )的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“大數(shù)據(jù)”時(shí)代的到來,人工智能的應(yīng)用已在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)得到了認(rèn)可與大力推廣,人工智能AI教育也相應(yīng)在北京、上海等大城市普及、某教育總公司開發(fā)了一款專門針對(duì)于中小學(xué)語數(shù)英教學(xué)的應(yīng)用程序,據(jù)研究發(fā)現(xiàn),題庫總量(單位:萬,)與成本(單位:萬元)的關(guān)系由兩部分構(gòu)成:
①固定成本:總計(jì)萬元;
②浮動(dòng)成本:萬元.
(1)該公司題庫總量為多少時(shí),可使得每題的平均成本費(fèi)用最低?最低費(fèi)用為多少?
(2)公司將該軟件投放市場(chǎng)尋求加盟合作伙伴,加盟費(fèi)為萬元,加盟人數(shù)與題庫量滿足一次關(guān)系,已知當(dāng)題庫量為萬時(shí),此時(shí)加盟人數(shù)為,公司總利潤(單位:萬元)達(dá)到最大值.試求、的值.(注:總利潤=加盟費(fèi)-成本).
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