Question

（本小題滿(mǎn)分13分）(第一問(wèn)8分，第二問(wèn)5分)
已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.
（1）設(shè)直線(xiàn)x＝1與曲線(xiàn)y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線(xiàn)y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線(xiàn)平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿(mǎn)足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）f′(1)＝2，且P(1,0)，∴f(x)在P點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0…………………………………………………………………………（2分）
又g′(1)＝a＋3，∴a＝－1.…………………………………………………………（3分）
故g(x)＝－x²＋3x，則方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k可化為
ln(x²＋1)－x²＝k.令y₁＝ln(x²＋1)－x²，則＝－x＝－
令＝0得x＝－1,0,1.因此及y的變化情況如下表：

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	0	(0,1)	1	(1,＋∞)
	＋	0	－	0	＋	0	－
y		極大值		極小值		極大值

且(y₁)_極大值＝ln2－，(y₁)_極小值＝0.……………………………………………………（6分）
又∵方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，函數(shù)y＝ln(x²＋1)－x²為偶函數(shù)，且當(dāng)x²＋1＝e³(x＝＞1)時(shí)，ln(x²＋1)－x²＝3－(e³－1)＝－e³＜0＝(y₁)_極小值，所以0＜k＜ln2－.……………………………………………………………………………………………（8分）
（2）∵F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.
∴F(x)＝(a－3)x²－(a＋3)x－1.………………………………………………………（9分）
①當(dāng)a＝3時(shí)，F(x)＝－6x－1在(0,1］上是減函數(shù)，可知F(x)取不到最大值.
②當(dāng)a＜3時(shí)，F(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，若x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值.則＞0解得a＜－3或a＞3，從而a＜－3.
③當(dāng)a＞3時(shí)，若x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，則＜時(shí)，此時(shí)a∈.
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a∈(－∞,－3)，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值.……（13分）

略