【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形.點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)
(1)記平面ADM與平面PBC的交線是l,試判斷直線l與BC的位置關(guān)系,并加以證明.
(2)若 ,求證PB⊥平面ADM,并求直線PC與平面ADM所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,
又AD平面PBC,BC平面PBC,
∴AD∥平面PBC,
又AD平面ADM,平面ADM∩平面PBC=l,
∴AD∥l,
又AD∥BC,
∴l(xiāng)∥BC.
(2)解:證明:以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,1),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),M( , , ),
∴ =(0,1,﹣1), =(1,0,0), =( , , ),
∴ =0, =0,
∴PB⊥AD,PB⊥AM,
又AD平面ADM,AM平面ADM,AD∩AM=A,
∴PB⊥平面ADM.
∴ =(0,1,﹣1)是平面ADM的一個(gè)法向量,
又 =(1,1,﹣1),
∴cos< >= = = .
∴直線PC與平面ADM所成角的正弦值為 .
【解析】(1)證明AD∥平面PBC,利用線面平行的性質(zhì)可得AD∥l,由平行公理即可得出l∥BC;(2)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法證明PB⊥AD,PB⊥AM,故而PB⊥平面ADM,計(jì)算 , 的夾角即可得出直線PC與平面ADM所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用空間角的異面直線所成的角,掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ +x(a>0).若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x﹣2y=0垂直, (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f(x),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則稱f(x)實(shí)數(shù)一個(gè)“λ一半隨函數(shù)”,有下列關(guān)于“λ一半隨函數(shù)”的結(jié)論:①若f(x)為“1一半隨函數(shù)”,則f(0)=f(2);②存在a∈(1,+∞)使得f(x)=ax為一個(gè)“λ一半隨函數(shù);③“ 一半隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn);④f(x)=x2是一個(gè)“λ一班隨函數(shù)”;其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P為線段AD(含端點(diǎn))上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè) , ,則得到函數(shù)y=f(x).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)對(duì)于任意a∈(0,+∞),求函數(shù)f(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4,0),B(6,7),C(0,3).
(1)求過(guò)點(diǎn)A與BC平行的直線方程.
(2)求過(guò)點(diǎn)B,并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況,從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取n份試卷進(jìn)行成績(jī)分析,得到數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖(如圖所示),其中成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生人數(shù)為6.
(Ⅰ)估計(jì)所抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù);
(Ⅱ)用分層抽樣的方法在成績(jī)?yōu)閇80,90)和[90,100]這兩組中共抽取5個(gè)學(xué)生,并從這5個(gè)學(xué)生中任取2人進(jìn)行點(diǎn)評(píng),求分?jǐn)?shù)在[90,100]恰有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);
(1)當(dāng)a∈( ,3)時(shí),求直線AC的傾斜角α的取值范圍;
(2)當(dāng)a=2時(shí),求△ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖(如圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查,則在[2500,3000)(元)月收入段應(yīng)抽出人.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x+a=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:mx+y+1=0對(duì)稱. (I)求m的值;
(Ⅱ)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn), =﹣3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求圓C的方程.
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