【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形.點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)
(1)記平面ADM與平面PBC的交線是l,試判斷直線l與BC的位置關(guān)系,并加以證明.
(2)若 ,求證PB⊥平面ADM,并求直線PC與平面ADM所成角的正弦值.

【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AD∥BC,

又AD平面PBC,BC平面PBC,

∴AD∥平面PBC,

又AD平面ADM,平面ADM∩平面PBC=l,

∴AD∥l,

又AD∥BC,

∴l(xiāng)∥BC.


(2)解:證明:以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,1),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),M( , , ),

=(0,1,﹣1), =(1,0,0), =( , , ),

=0, =0,

∴PB⊥AD,PB⊥AM,

又AD平面ADM,AM平面ADM,AD∩AM=A,

∴PB⊥平面ADM.

=(0,1,﹣1)是平面ADM的一個(gè)法向量,

=(1,1,﹣1),

∴cos< >= = =

∴直線PC與平面ADM所成角的正弦值為


【解析】(1)證明AD∥平面PBC,利用線面平行的性質(zhì)可得AD∥l,由平行公理即可得出l∥BC;(2)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法證明PB⊥AD,PB⊥AM,故而PB⊥平面ADM,計(jì)算 的夾角即可得出直線PC與平面ADM所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用空間角的異面直線所成的角,掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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