Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是中點(diǎn)，是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平面幾何知識(shí)證明 從而可得 面，可得 ，進(jìn)而得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.

試題解析：（1）證明：連接，因?yàn)?/span>為菱形，所以，又，

，所以面.

故.

因?yàn)?/span>，且，所以面.

而，所以平面平面；

（2）因?yàn)?/span>是二面角的平面角，所以，又是中點(diǎn)，

所以，所以為等邊三角形.

如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，，，.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，即，

取得.

所以，

所以直線與平面所成的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用求二面角，面面垂直的判定定理，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.