Question

設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，以為直徑的圓記為圓．

（1）求的值；

（2）證明：圓與軸必有公共點；

（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）見解析 （3）存在

【解析】

試題分析：

（1）判斷拋物線的焦點位置，得到焦點坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式得到FA的中點坐標(biāo)帶入拋物線即可求的P的值.

（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關(guān)系，可以用k來替代m，得到P點的坐標(biāo)，拋物線準(zhǔn)線與直線的方程可得到Q點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式可得到PQ中點坐標(biāo)，計算中點到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關(guān)系(點線距離小于或者等于半徑，即相交或者相切).

（3）由(2)可以得到PQ的坐標(biāo)(用k表示)，根據(jù)拋物線對稱性知點在軸上，設(shè)點坐標(biāo)為，則M點需滿足，即向量內(nèi)積為0，即可得到M點的坐標(biāo)，M點的坐標(biāo)如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點，如若不然，則不存在.

試題解析：

（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標(biāo)為，代入方程得，解得。 2分

（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為 3分

由得方程，

由直線與拋物線相切，得 4分

且，從而，即， 5分

由，解得， 6分

∴的中點的坐標(biāo)為

圓心到軸距離，

∵

所圓與軸總有公共點. 8分

(或 由, ,以線段為直徑的方程為:

令得

,所圓與軸總有公共點）. 9分

（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，

設(shè)點坐標(biāo)為， 10分

由（2）知，

∴ 。

由得，

所以，即或 13分

所以平面上存在定點，使得圓恒過點. 14分

證法二：由（2）知，，的中點的坐標(biāo)為

所以圓的方程為 11分

整理得 12分

上式對任意均成立，

當(dāng)且僅當(dāng)，解得 13分

所以平面上存在定點，使得圓恒過點. 14分

考點：拋物線 直線與拋物線的位置關(guān)系 圓與直線的位置關(guān)系 向量內(nèi)積