Question

【題目】對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的；否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個函數(shù)f1（x）=loga（x﹣3a），與f2（x）=loga （a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f1（x）與f1（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f1（x）與f1（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是否是接近的？

Answer 1

【答案】
（1）解：要使f1（x）與f2（x）有意義，則有 ，

要使f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，等價于： ，所以0＜a＜1

（2）解：f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，

|f1（x）﹣f（x2）|≤1|loga（x﹣3a）﹣ |≤1|loga[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1a≤（x﹣2a）2﹣a2 對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

設h（x）=（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，

且其對稱軸x=2a＜2在區(qū)間[a+2，a+3]的左邊，

，

所以當 ，時，f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的

【解析】（1）要使f1（x）與f2（x）有意義，則有 ，即 ，從而求出a的取值范圍．（2）f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，
|f1（x）﹣f（x2）|≤1|loga（x﹣3a）﹣ |≤1|loga[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1a≤（x﹣2a）2﹣a2 對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．