【題目】如圖所示,某公路 一側(cè)有一塊空地 ,其中 .當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖△OMN,其中MN都在邊AB上(M,N不與AB重合,MAN之間),且MON=30°.

(1)若M在距離A點(diǎn)2 km處,求點(diǎn)M,N之間的距離;

(2)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能。嚧_定M的位置,使△OMN的面積最小,并求出最小面積.

【答案】(1) (2)最小面積是

【解析】試題分析:

(1)先利用余弦定理分別求出,再利用角度轉(zhuǎn)化和正弦定理求出;(2)設(shè),利用三角形之間的正余弦定理轉(zhuǎn)化應(yīng)用,解得,應(yīng)用函數(shù)化簡(jiǎn)技巧,解得最小值

試題解析:

(1)在△OAB中,因?yàn)?/span>OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.

在△OAM中,由余弦定理得OM2AO2AM2-2AO·AM·cosA=7,

所以OM,所以cos∠AOM

在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM

在△OMN中,由,得MN×

(2)解法1:設(shè)AMx,0<x<3.

在△OAM中,由余弦定理得OM2AO2AM2-2AO·AM·cosAx2-3x+9,

所以OM,所以cos∠AOM

在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)

=cos∠AOM

,得ON·

所以SOMNOM·ON·sin∠MON···

,0<x<3.

6-xt,則x=6-t,3<t<6,則SOMN (t-9+)

·(2-9)=

當(dāng)且僅當(dāng)t,即t=3,x=6-3時(shí)等號(hào)成立SOMN的最小值為

所以M的位置為距離A點(diǎn)6-3 km處,可使△OMN的面積最小,最小面積是

km2

解法2:設(shè)∠AOMθ,0<θ

在△OAM中,由,得OM

在△OAN中,由,得ON

所以SOMNOM·ON·sin∠MON···

,0<θ

當(dāng)2θ,即θ時(shí),SOMN的最小值為

所以應(yīng)設(shè)計(jì)∠AOM,可使△OMN的面積最小,最小面積是km2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知非空集合A={x|a<x<2a+3},B={x|0<x<1}
(1)若a=﹣ ,求 A∩B
(2)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(1)求函數(shù)的解析式;

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1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;

2)設(shè)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值.

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【題目】設(shè)集合A=R,集合B={y|y>0},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的映射的是(
A.x→y=|x|
B.x→y=
C.
D.

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【題目】設(shè)m,p,q均為正數(shù),且 , ,則(
A.m>p>q
B.p>m>q
C.m>q>p
D.p>q>m

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣4x+a+3,g(x)=mx+5﹣2m
(1)當(dāng)a=﹣3,m=0時(shí),求方程f(x)﹣g(x)=0的解;
(2)若方程f(x)=0在[﹣1,1]上有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0時(shí),若對(duì)任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】對(duì)于在區(qū)間[m,n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果對(duì)任意x∈[m,n]均有|f(x)﹣g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是接近的;否則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是非接近的.現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f1(x)=loga(x﹣3a),與f2(x)=loga (a>0,a≠1),給定區(qū)間[a+2,a+3].
(1)若f1(x)與f1(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,求a的取值范圍;
(2)討論f1(x)與f1(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是否是接近的?

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