Question

給出定義在上的三個函數：，已知g（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）確定函數h（x）的單調性；
（Ⅱ）求證：當時，恒有成立；
（Ⅲ）把函數h（x）的圖象向上平移6個單位得到函數h₁（x）的圖象，試確定函數的零點個數，并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設，g（x）=x²-alnx，則g′（x）=2x-
由已知，g'（1）=0，即2-a=0
∴a=2
于是h（x）=x- ，則h′（x）=1-
由h′（x）=1-＞0
∴x＞1，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數
證明：（Ⅱ）當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2
欲證x＜，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），
即證f（x）＞
設φ（x）=f（x）- =lnx- ，
則φ′（x）=
當1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，所以φ（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數．
從而當1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞，故x＜
解：（Ⅲ）由題設，h₁（x）=x-+6．
令g（x）-h₁（x）=0，則x²-2lnx-（x-+6）=0，即 -2lnx=-x²+x+6
設h₂（x）=-2lnx， h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），
則h₂′（x）= ，由＞0，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函數，在（0，4）上是減函數
又h₃（x）在（0， ）上是增函數，在（，+∞）上是減函數．
因為當x→0時，h₂（x）→+∞，h₃（x）→6．
又h₂（1）=2，h₃（1）=6，h₂（4）=4-2ln4＞0，h₃（4）=-6，
則函數h₂（x）與h₃（x）的大致圖象如下：

由圖可知，當x＞0時，兩個函數圖象有2個交點，
故函數y=g（x）-h₁（x）有2個零點．