一束光線從點F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點P反射后,恰好穿過點F2(1,0).
(1)求P點的坐標;
(2)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程;
(3)設(shè)點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點,試問在x軸上是否存在兩定點A、B,使得直線QA、QB的斜率之積為定值?若存在,請求出定值,并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)出F
1關(guān)于l的對稱點為F,進而利用F
1的坐標求得
的值,同時把F
1F的中點代入直線方程求得n和m的關(guān)系式,聯(lián)立方程求得n和m,進而求得F的坐標.
(2)根據(jù)橢圓的定義可求得2a=PF
1+PF
2=PF+PF
2進而利用兩點間的距離公式求得a,根據(jù)c的值求得b,則橢圓的方程可得.
(3)假設(shè)存在兩定點,并設(shè)出坐標,分別表示出QT和QS的斜率表示出k,把橢圓的方程代入,對于x∈(-
,
)恒成立聯(lián)立方程求得k,s和t,求得兩定點的坐標.
解答:解:(1)設(shè)F
1關(guān)于l的對稱點為F(m,n),則
=-且
2•-+3=0,
解得
m=-,
n=,即
F(-,).
由
,解得
P(-,).
(2)因為PF
1=PF,根據(jù)橢圓定義,得2a=PF
1+PF
2=PF+PF
2=FF
2=
=2,所以a=
.又c=1,
所以b=1.所以橢圓C的方程為
+y2=1.
(3)假設(shè)存在兩定點為A(s,0),B(t,0),
使得對于橢圓上任意一點Q(x,y)(除長軸兩端點)都有k
Qt•k
Qs=k(k為定值),
即
•
=k,將
y2=1-代入并整理得
(k+)x2-k(s+t)x+kst-1=0(*)
.由題意,(*)式對任意x∈(-
,
)恒成立,
所以
,
解之得
或
.
所以有且只有兩定點(
,0),(-
,0),
使得k
Qt•k
Qs為定值-
.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生綜合分析問題和推理能力.