Question

一束光線從點(diǎn)F₁（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過點(diǎn)F₂（1，0）．      
（Ⅰ）求點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q 到F₂的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁‘的坐標(biāo)為（m，n），則

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0．由此能求出點(diǎn)F₁′的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由|PF₁′|=|PF₁|，得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由

a2

c

=2，知橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±2．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示點(diǎn)Q到F₂的距離，d₂表示點(diǎn)Q到橢圓的右準(zhǔn)線的距離．則

d1

d2

=

5t2+10t+10

|t-2|

=

5• t2+2t+2 (t-2)2

，令f(t)=

t2+2t+2

(t-2)2

，(-2＜t＜2)，則f′(t)=

(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2)

(t-2)4

=

-(6t+8)

(t-2)3

，由此能求出

d1

d2

最小值和此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁的坐標(biāo)為（m，n），則

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0．
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，因此，點(diǎn)F₁′的坐標(biāo)為（-

9

5

，

2

5

）．
（Ⅱ）∵|PF₁′|=|PF₁|，根據(jù)橢圓定義，
得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
∴a=

2

，b=

2-1

=1．∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅲ）∵

a2

c

=2，∴橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±2．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示點(diǎn)Q到F₂的距離，d₂表示點(diǎn)Q到橢圓的右準(zhǔn)線的距離．
則d1=

(t-1)2+(2t+3)2

=

5t2+10t+10

，d₂=|t-2|．

d1

d2

=

5t2+10t+10

|t-2|

=

5• t2+2t+2 (t-2)2

，令f(t)=

t2+2t+2

(t-2)2

，(-2＜t＜2)，則f′(t)=

(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2)

(t-2)4

=

-(6t+8)

(t-2)3

，
∵當(dāng)-2＜t＜-

4

3

，f′(t)＜0，-

4

3

＜t＜2，f′(t)＞0，t=-

4

3

，f′（t）＞0．
∴f（t）在t=-

4

3

時(shí)取得最小值．
因此，

d1

d2

最小值=

5•f(- 4 3 )

=

2

2

，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

4

3

，

1

3

）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．