Question

一束光線從點(diǎn)F₁（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F₂（1，0）．
（Ⅰ）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F（m，n），再求直線F₂F的方程，然后求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）根據(jù)橢圓的定義，求出a、c、b，即可求得橢圓方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F（m，n），
則

m

m+1

 =-

1

2

且2-

m-1

2

-

n

2

+3=0，（3分）
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，即F（-

9

5

，

2

5

），（4分）
故直線F₂F的方程為x+7y-1=0．（5分）
由

x+7y-1=0 2x-y+3=0

，解得P（-

4

3

，

1

3

）．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)镻F₁=PF，根據(jù)橢圓定義，得
2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
所以a=

2

．（8分）
又c=1，所以b=1．
所以橢圓C的方程

x2

2

+y2=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，兩條直線的交點(diǎn)，橢圓的定義，是基礎(chǔ)題．