Question

12．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是PC，AB的中點(diǎn)，且PA=AB=2AD=4．
（1）求證：MN⊥CD；
（2）求四面體A-BMD的體積．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DC}=0$，從而MN⊥DC；
（2）利用等體積法來求，V_A-BMD=V_M-ABD；

解答 解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，0，0）
∴$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0）
因?yàn)?\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=0，所以MN⊥CD．
（2）因?yàn)镸，N分別是PC，AB的中點(diǎn)，且PA=AB=2AD=4；
        V_A-BMD=V_M-ABD
=$\frac{1}{3}$S_ABD•$\frac{1}{2}$PA
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AD×AB×$\frac{1}{2}$×PA=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系、向量與多面體體積相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬簡(jiǎn)單題．