(本題滿分13分)
如圖,棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大小
(3)求點C到平面PBD的距離.
⑴見解析;(2);(3)。
解析試題分析:方法一:⑴證:在Rt△BAD中,AD=2,BD=, ∴AB=2,ABCD為正方形,因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BDÌ平面ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
解:(2)由PA⊥面ABCD,知AD為PD在平面ABCD的射影,又CD⊥AD, ∴CD⊥PD,
知∠PDA為二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . 二面角P—CD—B余弦值為。
(3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= ,設C到面PBD的距離為d,
由,有,即,得
方法二:證:(1)建立如圖所示的直角坐標系,
則A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).………………2分
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. …………4分
解:(2)由(1)得.
設平面PCD的法向量為,則,
即,∴ 故平面PCD的法向量可取為
∵PA⊥平面ABCD,∴為平面ABCD的法向量. ……………………………7分
設二面角P—CD—B的大小為q,依題意可得 . ……………………………9分
(3)由(Ⅰ)得,設平面PBD的法向量為,
則,即,∴x=y=z,故可取為. ………11分
∵,∴C到面PBD的距離為 …………………13分
考點:本題考查直線與平面垂直的判定定理;線面垂直的性質定理;向量法求空間角; 點、線、面間的距離計算。
點評:綜合法求二面角,往往需要作出平面角,這是幾何中一大難點,而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經過簡單運算即可,從而體現了空間向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量與的夾角; ②設分別是二面角的兩個面α,β的法向量,則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.
(1)求的長; (2)求cos< >的值; (3)求證:A1B⊥C1M.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,四棱錐P—ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=2,AB=8,BC=6,點E是PC的中點,F在AD上且AF:FD=1:2.建立適當坐標系.
(1)求EF的長;
(2)證明:EF⊥PC.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點
(I)求證:平面BCD;
(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(III)求點E到平面ACD的距離。
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,在直三棱柱(側棱垂直于底面的棱柱)中, , , , ,點是的中點.
(Ⅰ) 求證:∥平面;
(Ⅱ)求AC1與平面CC1B1B所成的角.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐中,底面,四邊形中, ,, ,,E為中點.
(1)求證:CD⊥面PAC;(2)求:異面直線BE與AC所成角的余弦值;
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
本小題滿分12分)
已知三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,
N為AB上一點,AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.
(I)證明:CM⊥SN;(II)求SN與平面CMN所成角的大小.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com