【題目】曲線上任意一點M滿足, 其中F (-F (拋物線的焦點是直線y=x-1與x軸的交點, 頂點為原點O.
(I)求, 的標準方程;
(II)請問是否存在直線l滿足條件:① 過的焦點;② 與交于不同兩點, 且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2) 或.
【解析】試題分析:(1)由已知得曲線是以為焦點,以4為實軸的橢圓,拋物線的焦點是,頂點為原點,由此能求出求, 的標準方程;(2)設直線的方程為,由,得,由此利用韋達定理結合向量垂直數量積為0的性質能求出直線的方程.
試題解析:(1)∵曲線上任意一點滿足,其中,
∴曲線是以為焦點,以4為實軸的橢圓,
∴, ,∴,∴曲線的方程為.
∵拋物線的焦點是直線與軸的交點,頂點為原點,
∴拋物線的焦點是,∴拋物線的標準方程為: .
(2)假設存在存在直線直線滿足條件:①過的焦點;②與交于不同兩點,且滿足,當直線的斜率不存在時,直線的方程為,不滿足條件;
當直線的斜率存在時,設直線的方程為,
由,得,設, ,則, , ,
∵,∴ ,
解得或,
∴直線滿足條件,且的方程為或.
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【題目】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓.
(1) 求實數m的取值范圍;
(2) 求該圓半徑r的取值范圍;
(3) 求該圓心的縱坐標的最小值.
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【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權巡航,某時刻航行至處,此時測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處。
(Ⅰ)求此時該外國船只與島的距離;
(Ⅱ)觀測中發(fā)現,此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行。為了將該船攔截在離島海里處,不讓其進入島海里內的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.
(參考數據: , )
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【題目】
“健步走”是一種方便而又有效的鍛煉方式,李老師每天堅持“健步走”,并用計步器進行統(tǒng)計.他最近8天“健步走”步數的條形統(tǒng)計圖及相應的消耗能量數據表如下:
(I)求李老師這8天“健步走”步數的平均數;
(II)從步數為16千步,17千步,18千步的6天中任選2天,設李老師這2天通過“健步走”消耗的能量和為,求的分布列及數學期望.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,短軸長為2,為原點,直線與橢圓的另一個交點為,且的面積是的面積的3倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于兩點,若在橢圓上存在點,使為平行四邊形,求取值范圍.
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【題目】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,A(-3,-10),
B (-2,-1),C(3,4),
(1)求邊AD和CD所在的直線方程;
(2)數列的前項和為,點在直線CD上,求證為等比數列.
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