Question

已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）為圓上任意一點(diǎn)，AN⊥x軸于N，若動點(diǎn)Q滿足

OQ

=m

OA

+n

ON

，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數(shù)），試求動點(diǎn)Q的軌跡方程C₂．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相切的等價條件求出圓的半徑，即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出動點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線，利用代入法即可求出動點(diǎn)Q的軌跡方程C₂．

解答： 解：（1）∵圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，
∴圓心到直線的距離d=r，
r=

|0-2 2 |

1+1

=

2 2

2

=2，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=4．
（2）設(shè)動點(diǎn)Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸，N（x₀，0）
由題意（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），
∴

x=(m+n)x0=x0 y=my0

即

x0=x y0= 1 m y

，
將A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4得

x2

4

+

y2

4m2

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和與圓有關(guān)的軌跡方程的求解，根據(jù)條件建立圓心到直線的距離關(guān)系以及利用代入法是解決求軌跡問題的基本方法．